Interval positroid varieties and a deformation of the ring of symmetric functions

Define the interval rank r[i,j] : Grk(C) → N of a k-plane V as the dimension of the orthogonal projection π[i,j](V ) of V to the (j − i + 1)-dimensional subspace that uses the coordinates i, i + 1, . . . , j. By measuring all these ranks, we define the interval rank stratification of the Grassmannian Grk(C). It is finer than the Schubert and Richardson stratifications, and coarser than the positroid stratification studied by Lusztig, Postnikov, and others, so we call the closures of these strata interval positroid varieties. We connect Vakil’s “geometric Littlewood-Richardson rule”, in which he computed the homology classes of Richardson varieties (Schubert varieties intersected with opposite Schubert varieties), to Erdős-Ko-Rado shifting, and show that all of Vakil’s varieties are interval positroid varieties. We build on his work in three ways: (1) we extend it to arbitrary interval positroid varieties, (2) we use it to compute in equivariant K-theory, not just homology, and (3) we simplify Vakil’s (2 + 1)-dimensional “checker games” to 2-dimensional diagrams we call “IP pipe dreams”. The ring Symm of symmetric functions and its basis of Schur functions is well-known to be very closely related to the ring ⊕ a,bH∗(Gra(C )) and its basis of Schubert classes. We extend the latter ring to equivariant K-theory (with respect to a circle action on each C), and compute the structure constants of this two-parameter deformation of Symm using the interval positroid technology above. Résumé. Le rang d’intervalle r[i,j] : Grk(C)→ N d’un sous–espace V ⊂ C de dimension k est la dimension de la projection orthogonale π[i,j](V ) de V sur le sous–espace de dimension (j − i+ 1) paramétré par les coordonnées i, i + 1, . . . j. En considérant tous les rangs [i, j] nous définissons la stratification selon le rang d’intervalle de la Grassmannienne Grk(C). Cette stratification est plus fine que les stratifications de Schubert et de Richardson, mais plus grossière que la stratification de positroı̈de étudiée entre autres par Lusztig et Postnikov. Nous appelons donc variétés d’intervalle positroı̈de les clôtures de ces strates. Nous relions la “règle de Littlewood–Richardson géométrique” de Vakil, qui calcule les classes d’homologie des variétés de Richardson (intersections des variétés de Schubert et des variétés de Schubert opposées) au déplacement d’Erdős-Ko-Rado. Nous prouvons que toutes les variétés de Vakil sont des variétés d’intervalle positroı̈de. Nous étendons la théorie de Vakil de trois fa cons: (1) nous l’étendons aux variétés d’intervalle positroı̈de quelconques, (2) nous l’utilisons pour del calculs en K–théorie équivariante, plutôt que simplement en homologie, et (3) nous simplifions les “jeux de dames” de Vakil de dimension (2 + 1) en introduisant des diagrammes bidimensionnels que nous appelons “tuyauteries IP” (pour n > 1 ceci n’est pas une pipe). ∗Email: [email protected]. Supported by the NSF. †Email: [email protected] Supported by Marie Curie International Outgoing Fellowship 2009-254577 of the EU Seventh Framework Program. 1365–8050 c © 2014 Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science (DMTCS), Nancy, France 924 Allen Knutson and Mathias Lederer Il est bien connu que l’anneau Symm des fonctions symétriques et sa base des fonctions de Schur sont étroitement liées à l’anneau ⊕ a,bH∗(Gra(C )) et à sa base des classes de Schubert. Nous étendons cet anneau à la K– théorie équivariante (pour une action du cercle sur chaque C) et nous calculons les constantes de structure de cette déformation à deux paramètres de Symm, par le biais des techniques d’intervalles positroı̈des précédentes.